Циклоида

Обсудим перелёт «Тантры» с Тритона на Землю.

Вскоре Испытанный звездолет легко оторвался от Треты/Тритона и понесся по гигантской дуге перпендикулярной к плоскости эклиптики. Прямой путь к Земле был невозможен: любой корабль погиб бы в широком поясе метеоритов и астероидов, осколков разбитой планеты Фаэтона, когда-то существовавшей между Марсом и Юпитером и разорванной тяготением гиганта Солнечной системы.

Представление о планете Фаэтон было очень популярно в то время. Вероятность преодоления пояса астероидов действительно была неизвестна.

... описав гигантскую дугу, перпендикулярную к плоскости обращения всей системы звезды T, миновать ее ледяной и метеоритный пояса. (только книга)

... при пересечении

метеоритного пояса в системе Веги

пояса космического льда на краю системы Вега,

«Парус» был поврежден.

В журнале упоминается только метеоритный пояс. В книге вводится ледяной пояс, расположенный на краю звездной системы. Гипотезы о существовании таких периферийных объектов выдвигались многими астрономами в 30-х--50-х гг. Сейчас они подтверждены и развиты (см. пояс Койпера, облако Оорта, рассеянный диск).

«Тантра» начала замедлять субсветовую скорость полета и миновала ледяной пояс Солнечной системы, приближаясь к станции звездолетов на Трете/Тритоне. Теперь такая скорость больше не была нужна: отсюда, со спутника Нептуна, «Тантра», летящая со скоростью девятьсот миллионов километров в час, достигла бы Земли меньше чем за пять часов. Однако

корабль за время разгона пролетел бы

разгон звездолета требовал столько времени, что корабль, начав полет с Тритона, миновал бы

Солнце и удалился от него на огромное расстояние. Чтобы не расходовать драгоценный анамезон и не обременять корабли громоздким оборудованием, внутри системы летали на ионных и фотонных планетолетах. Скорость их не превышала восьмисот тысяч километров в час для внутренних планет и трех /двух с половиной миллионов для самых удаленных внешних. — в этом случае Обычный путь от Нептуна до Земли

потребовал бы двух месяцев...

занимал два с половиной — три месяца.

Большая полуось орбиты Нептуна примерно 30 астрономических единиц, т.е. в среднем расстояние до Земли 𝐿 = 30·150 млн.км. = 4500 млн.км.

«Тантра» на номинальной скорости преодолеет это расстояние за 4500/900 = 5 часов.

На скорости 3 млн.км/ч — за 4500/3 = 1500 ч = 62,5 сут.

На скорости 2,5 млн.км/ч — за 4500/3 = 1800 ч = 75 сут.

Как известно, по траектории Гомана до Нептуна лететь 30 лет, по параболе — 13. Такая неторопливость, разумеется, не могла устроить ИАЕ. Два-три месяца — приемлемый срок. Осталось округлить скорость.

Хотя ИАЕ и утверждал, что планетолёты летают по дуге, значения скорости и времени свидетельствуют, что он рассматривал равномерное движение вдоль радиуса.

Скорость 3 млн.км/ч равна 1/300 нормальной скорости «Тантры», а значение 2,5 млн.км/ч — примерно 1/400 скорости света. Возможно, приведение скоростей к неким долям абсолютной скорости побудило ИАЕ уменьшить в книжном варианте скорость с 3 до 2,5 млн.км/ч.

Эрг Ноор набирал ускорение : Он не собирался везти героев на Землю положенные шестьдесят/семьдесят два дня, а решил, пользуясь колоссальной силой звездолета,

дойти за пятьдесят часов при минимальном расходе анамезона.

при минимальном расходе анамезона, дойти за пятьдесят часов.

ИАЕ путает скорость и ускорение, как обычно. Если движение по-прежнему считать равномерным и радиальным, то скорость «Тантры» 4500/50=90 млн. км/ч. Это ровно в десять раз меньше субсветовой скорости 900 млн. км/ч. В самом деле: если на нормальной скорости «Тантра» летела бы 5 часов, то на десятикратно меньшей — 50 часов. По представлениям ИАЕ, такая скорость для звездолёта — сущий пустяк.

Не вдаваясь в досужие рассуждения об экономии анамезона, попробуем оценить, насколько реален такой срок перелёта в плане воздействия перегрузок. Если считать, что первую половину пути  𝐿/2 корабль двигался равноускоренно (с ускорением 𝑎), а вторую — равнозамедленно, то

𝐿
2
 = 
𝑎
2
𝑇2
22
,
где 𝑇 — время перелёта. Отсюда
𝑎 = 
4𝐿
𝑇2
 = 
4·4,5·1012
(50·3600)2
 = 556 
м
с2
 = 57 𝑔.

Такие перегрузки вовсе не казались ИАЕ «чудовищными» из-за его характерной ошибки.


Интересно всё же оценить минимальное время межпланетного перелёта, соответствующее единичной перегрузке (аналогично тому, как это сделано здесь для межзвёздного). Орбитальными скоростями Земли и Нептуна пренебрежём. Пусть «Тантра» движется в плоскости эклиптики вдоль радиуса орбиты Нептуна. Двигатель работает постоянно, создавая на корабле земное ускорение. Первую половину пути (и времени) нос «Тантры» направлен на Землю. Затем корабль переворачивается и тормозит. Время такого перелёта, очевидно, составляет

𝑇рад = 2
𝐿
𝑎
 = 2
4,5·1012
9,80665
 = 16 суток.

Однако в ТуА корабли должны летать, избегая вхождения в пояс астероидов — перпендикулярно эклиптике, по дуге. Схема такого перелёта разработана здесь (вообще-то сайт в научном плане подозрительный, но формулам на этой конкретной странице можно доверять). Предлагается стартовать вверх (перпендикулярно эклиптике) и равномерно поворачивать корабль, меняя ориентацию (но не модуль) ускорения. Легко показать, что корабль будет двигаться по циклоиде.

Циклоида — это траектория точки катящейся окружности. Окружность в данном случае воображаемая и катится она к Солнцу. Если качение равномерное, центростремительное ускорение точки 𝑎 = 𝑉2/𝑅, где 𝑅 — радиус окружности. Вектор ускорения равномерно вращается: в нижних точках (старта и финиша «Тантры») оно направлено вверх. Расстояние между этими точками 𝐿 = 2𝜋𝑅. Исключая скорость 𝑉 = 𝐿/𝑇, получим:

𝑇цикл =  2𝜋
𝐿
𝑎
 = 
𝜋
2
𝑇рад.

Время перелёта по циклоиде больше минимального времени радиального перелёта в

𝜋
2
 = 1,253 раз,
т.е. на четверть. Перелёт с Нептуна займёт 16·1,25 = 20 суток — в десять раз дольше, чем у Ефремова.

ИАЕ в журнальном варианте упоминает про циклоиду в очень интересном контексте:

«Тантра» стала описывать пологую циклоиду/кривую между границами равного напряжения во встречных гравитационных полях.

Звездолёты в ТуА летают не строго вдоль прямой, а вынуждены обходить различные препятствия: сильные гравитационные поля, неисследованные области, районы свободных метеоритов.

Курс звездолета лежал сейчас немного в сторону от Солнца — примерно на полтора года полёта. (только книга)

Звездолет давно шел по истинному, точно вычисленному курсу, описывавшему большую дугу в обход района свободных метеоритов.

Ситуация аналогична обходу пояса астероидов в Солнечной системе. Если допустить, что двигатель звездолёта работает постоянно, равномерно поворачивается в одной плоскости, пренебречь СТО, то между звёздами корабль будет двигаться тоже по дуге циклоиды.

Хотелось бы думать, что ИАЕ упомянул циклоиду в таком строго научном смысле. Но на это по сути нет оснований. Возможно он имел в виду какую-то поверхностную аналогию — ведь циклоида возникает при решении известных задач движения в поле силы тяжести (таутохронность, маятник Гюйгенса, брахистохрона).