Как мы вскоре убедимся, для развития сюжета ТуА огромную роль играет представление о том, что при движении с околосветовой скоростью в гравитационном поле вес недопустимо возрастает; нужно либо избегать вхождения в поле, либо заранее тормозить.
— На нашем пути есть сильное поле тяготения — область скопления темного вещества в Скорпионе, около звезды 6555-ЦР+11-ПКУ, — заговорил Hoop. — Чтобы избежать траты горючего, следует отклониться сюда, к Змее.
При меньшей скорости мы могли бы пойти
В старину летали
безмоторным полетом, используя гравитационные поля в качестве ускорителей, по их краям... Но невыгодно общее замедление хода.
— Нельзя обойтись без замедления? — спросила Низа, стараясь помочь раздумью начальника.
— Можем ли мы применить этот способ? — спросила Низа.
— Нет, для этого наши звездолеты слишком быстры. Скорость в пять шестых абсолютной единицы, или двести пятьдесят тысяч километров в секунду, увеличила бы в земном поле тяготения вес корабля в двенадцать тысяч раз,— следовательно, превратила бы всю экспедицию в пыль. Мы можем лететь так только в пространстве Космоса, вдали от больших скоплений материи. Как только звездолет начинает входить в гравитационное поле, приходится снижать скорость тем сильнее, чем сильнее поле.
— Следовательно, тут противоречие, — Низа по-детски подперла рукой голову, — чем сильнее поле тяготения при безмоторном полете, тем большая может быть набрана скорость, но тем медленнее надо лететь!
— Это верно лишь для громадных субсветовых скоростей, когда звездолет сам становится подобным световому лучу и может двигаться только по прямой или по так называемой кривой равных напряжений.
— Если я правильно поняла, вам надо нацелить
нашу лучеподобную «Тантру»
наш «луч» — «Тантру» —
прямо на Cолнечную систему.
— В этом вся огромная трудность звездоплавания. Точный прицел на ту или другую звезду практически невозможен, хотя мы применяем все мыслимые исправления расчётов. Приходится всё время пути исчислять накапливающуюся ошибку, меняя курс корабля, почему и невозможно полностью автоматизированное управление. А теперь у нас опасное положение. Остановка или хотя бы сильное замедление полета для нас после разгона
будет равно
будут равны
смерти, так как снова набрать скорость будет уже нечем.
Суть явления (назовём его «субсветовой вес», поскольку ИАЕ использовал это прилагательное) и его следствия для навигации описаны недвусмысленно. Но появляются вопросы:
Какой физический механизм ответственен за явление?
Откуда ИАЕ взял конкретное значение: «двенадцать тысяч раз»?
Обычно ИАЕ не берёт чисел «с потолка»: они связаны с другими числами и выстроены в систему его представлений. А если и берёт (как в случае с радиусом круга миллиард километров), то приводит «круглые» значения, что подчёркивает их условность.
«Наивное» объяснение субсветового веса таково. Гравитационное поле искривляет траекторию звездолёта. Возникает центростремительное ускорение. Ускорение пропорционально квадрату скорости. На околосветовой скорости ускорение чудовищно. От перегрузки экипаж погибнет, звездолёт разрушится.
При этом неявно считают, что кривизна траектории определяется лишь полем. Но в действительности, искривление тем меньше, чем больше скорость. Также забывают, что центростремительная сила имеет вполне конкретную природу — это сила тяготения, которая от скорости вообще не зависит.
Разберём эти вопросы глубже, в строгой физической постановке.
Основной закон динамики — второй закон Ньютона. Запишем его в формулировке самого Ньютона: сила 𝐹⃗ есть скорость изменения импульса 𝑝⃗, т.е.
В классической механике импульс — просто произведение массы на скорость: 𝑝⃗ = 𝑚𝜐⃗. Релятивистский импульс 𝑝⃗ = 𝛾𝑚𝜐⃗ отличается наличием множителя
называемого фактором Лоренца, где 𝛽 = 𝜐/𝑐 — безразмерная скорость. Он больше единицы и только при нулевой скорости 𝛾 = 1.
Следует подчеркнуть, что в формуле 𝑝⃗ = 𝛾𝑚𝜐⃗ масса 𝑚 является инвариантной величиной (одинаковой во всех системах отсчёта), не зависящей от скорости. Для того чтобы сохранить привычный вид формулы для импульса, можно ввести понятие релятивистской массы: 𝑚𝜐 = 𝛾𝑚. Чем больше 𝜐, тем релятивистская масса больше. Она равна инвариантной массе только при нулевой скорости 𝑚0 = 𝑚, соответственно, говорят о массе покоя.
В большинстве старых книг по физике — как учебных, так и научных — под массой понимают релятивистскую массу. Теперь ситуация изменилась и под массой обычно понимают инвариантную массу. На то есть веские причины (см. знаменитую статью Окуня). Мы тоже будем следовать современной трактовке. Но следует помнить, что во времена ИАЕ зависимость массы от скорости была одной из визитных карточек теории относительности, и Ефремов следовал общепринятым представлениям.
Если в законе Ньютона расписать в явном виде 𝛾 и продифференцировать правую часть, можно получить формулу
Здесь 𝑎⃗⟂ — поперечная составляющая ускорения, перпендикулярная скорости, 𝑎⃗∥ — продольная составляющая ускорения, параллельная скорости. В сумме они дают полное ускорение
Как видим, второй закон Ньютона в обычной, «школьной» форме
в общем случае не выполняется. Но привычную форму закона можно «спасти» в следующих частных случаях.
1. Сила чисто поперечная 𝐹⃗ = 𝐹⃗⟂, она создаёт ускорение
2. Сила чисто продольная 𝐹⃗ = 𝐹⃗∥, создаёт ускорение
Продольная и поперечная массы, в отличие от инвариантной массы 𝑚, увеличиваются с возрастанием скорости 𝜐, причём 𝑚∥ = 𝛾2𝑚⟂ > 𝑚⟂. Это значит, что становится всё трудней искривить траекторию (здесь Ефремов прав) и ещё трудней — увеличить модуль скорости. Как бы долго ни разгонялся звездолёт, он никогда не достигнет скорости света, так как по мере приближения к ней массы 𝑚⟂ и 𝑚∥ стремятся к бесконечности.
Как пишет Л.Б. Окунь, «банда четырёх» (релятивистская масса, масса покоя, поперечная, продольная) внедрились в рождающую теорию относительности и создали предпосылки для путаницы.
Но вернёмся к «Тантре». Её скорость составляет пять шестых абсолютной 𝛽 = 5/6, значит 𝛾 = 1,809. Поперечная масса возрастает в 𝛾 раз, продольная — в 𝛾³ = 5,9 раз. Важно понимать, что всё это массы по отношению к системе отсчёта, связанной с Землёй или с «железной звездой». Возрастание этих масс затрудняет маневрирование звездолёта (изменение курса, разгон, торможение) относительно «железной звезды».
А что же происходит внутри звездолёта? Там, в соответствии с принципом относительности, движение никак не ощущается. Поскольку члены экипажа не бегают по звездолёту с околосветовой скоростью, их масса (любая) не изменяется.
Итак, сколь угодно быстрое движение звездолёта само по себе безопасно (в пустоте, вдали от других тел). Но при вхождении в гравитационное поле, как утверждает Ефремов, «вес недопустимо возрастает».
Раньше, примерно до 60-х гг., масса и вес, вес и сила тяжести, практически отождествлялись. Космические полёты вынудили внести ясность в учебники физики. Вес — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Обобщая, вес — сила контактного (приложенного к части поверхности) действия на то тело, что не даёт этому свободно упасть. В вес не включаются силы, распределённые по объёму тела или по всей его поверхности (сила Архимеда при полном погружении тела). Такое понятие соответствует нашему обыденному ощущению веса.
Рассмотрим два случая.
1. На «Тантре» включён и постоянно работает двигатель, создающий силу 𝐹⃗. Звездолёт и его содержимое движется с ускорением (относительно собственной системы отсчёта)
где 𝑚 — инвариантная масса звездолёта. Двигатель действует на корпус ракеты, тот — на пол помещений, по которому ходят люди. То есть, люди ускоряются благодаря взаимодействию с полом. Вес стоящего на полу космонавта равен произведению его массы на 𝑎⃗0, которое играет роль ускорения свободного падения.
2. Двигатели «Тантры» выключены и она с околосветовой скоростью пролетает вблизи звезды. На звездолёт действует гравитационное поле звезды — допустим для наглядности, что с той же силой 𝐹⃗. В результате звездолёт как целое ускоряется точно так же, как в первом случае. Но гравитационное поле действует не на какой-то отдельный элемент звездолёта, а на все его части — на двигатель, на корпус, на каждого человека, на любую частицу. Сила гравитационного взаимодействия пропорциональна массе (принцип эквивалентности). Значит, всем частям звездолёта сообщается одинаковое ускорение. Космонавт может парить над полом, так как гравитация ускоряет его непосредственно. Если корабль не вращается (относительно инерциальной системы отсчёта), внутри него будет невесомость. Будет независимо от того, как быстро он движется и по какой траектории: прямая, окружность, эллипс, парабола, гипербола, «восьмерка» (в случае двух центров тяготения) и т.п.
Итак, Ефремов заблуждался насчёт субсветового веса. Но почему? Каков был ход его мыслей?
Скорее всего, ИАЕ понял формулу
неправильно: прочитал наоборот. Он счёл, что в земном поле тяготения корабль движется с ускорением свободного падения, т.е. 𝑎∥ = 𝑔, значит сила 𝐹∥ = 𝑚∥𝑔. С увеличением скорости сила возрастает так же, как и 𝑚∥, т.е. пропорционально 𝛾3.
Но откуда ИАЕ взял число 12 тысяч? Ведь для указанной скорости «Тантры» 𝛾3 равно всего лишь 5,9. Долгое время это оставалось для меня загадкой. Однажды я забрёл на страницу Википедии и лениво разглядывал таблицу значений фактора Лоренца 𝛾 при некоторых характерных «круглых» скоростях. Совершенно обычная таблица, которую можно найти во многих учебниках, особенно старых. Взгляд скользнул в конец — к наиболее впечатляющим значениям. Скорости 𝜐 = 0,999 𝑐 соответствует 𝛾 = 22,366. Я обратил внимание, что куб этого числа должен быть чуть больше десяти тысяч. Действительно, 22,3663 = 11188, что весьма близко к двенадцати тысячам.
Можно предположить, что ИАЕ когда-то где-то наткнулся на подобную таблицу (содержащую, вероятно, и столбец с 𝛾3), впечатлился гигантским числом в конце и... сделал неправильные выводы. Соответствующую скорость он не запомнил. А если ещё не совсем правильно запомнил или округлил 𝛾, то получил 243 = 12167 — те самые двенадцать тысяч.